游戏策划实例:取石子游戏实例解答

<1>小红是个游戏迷,他和小蓝起玩拿石子游戏.游戏规则为2个人轮流拿石子.次可以拿1颗或3颗,规定谁取到最后颗石子谁就胜出.最后决定由小红先取.两人都是游戏高手,该赢绝不会输.问在知道石子总数情况下,怎样快速预测谁将会胜出.

分析:

小红和小蓝各取次共有 3种情况:

①共取走2颗石子

②共取走4颗石子

③共取走6颗石子

设方案①取了N1次方案②取了N2次方案③取了N3次后还剩下K个石子最后K取值有 3种情况:013设有石子S.则S=2*N1+4*N2+6*N3+K.其中2*N1+4*N2+6*N3=(1+1)*N1+(1+3)*N2+(3+3)*N3,介绍说明取过程为偶数次所以剩下K时该最先取石子人取K=1,3则先取方胜反的另方胜又2*N1+4*N2+6*N3=2*(N1+2*N2+3*N3)为偶数所以S奇偶性取决于K当K为偶数时后取方胜反的线取方胜



<2>有种很有意思游戏就是有物体若干堆可以是火柴棍或是围棋子等等均可两个人轮流从堆中取物体若干规定最后取光物体者取胜这是我国民间很古老个游戏别看这游戏极其简单却蕴含着深刻数学原理下面我们来分析下要如何才能够取胜

()巴什博奕(Bash Game):只有堆n个物品两个人轮流从这堆物品中取物规定每次至少取个最多取m个最后取光者得胜

显然如果n=m+1那么由于次最多只能取m个所以无论先取者拿走多少个后取者都能够次拿走剩余物品后者取胜因此我们发现了如何取胜法则:如果n=(m+1)r+s(r为任意自然数s≤m),那么先取者要拿走s个物品如果后取者拿走k(≤m)个那么先取者再拿走m+1-k个结果剩下(m+1)(r-1)个以后保持这样取法那么先取者肯定获胜总的要保持给对手留下(m+1)倍数就能最后获胜
这个游戏还可以有种变相玩法:两个人轮流报数每次至少报个最多报十个谁能报到100者胜
( 2)威佐夫博奕(Wythoff Game):有两堆各若干个物品两个人轮流从某堆或同时从两堆中取同样多物品规定每次至少取个多者不限最后取光者得胜
这种情况下是颇为复杂我们用(akbk)(ak ≤ bk ,k=012...,n)表示两堆物品数量并称其为局势如果甲面对(00)那么甲已经输了这种局势我们称为奇异局势前几个奇异局势是:(00)、(12)、(35)、(47)、(610)、(813)、(915)、(1118)、(1220)
可以看出,a0=b0=0,ak是未在前面出现过最小自然数,而 bk= ak + k奇异局势有
如下 3条性质:

1任何自然数都包含在个且仅有个奇异局势中
由于ak是未在前面出现过最小自然数所以有ak > ak-1 而 bk= ak + k > ak-1 + k-1 = bk-1 > ak-1 所以性质1成立
2任意操作都可将奇异局势变为非奇异局势
事实上若只改变奇异局势(akbk)某个分量那么另个分量不可能在其他奇异局势中所以必然是非奇异局势如果使(akbk)两个分量同时减少则由于其差不变且不可能是其他奇异局势差因此也是非奇异局势
3采用适当思路方法可以将非奇异局势变为奇异局势

假设面对局势是(a,b)若 b = a则同时从两堆中取走 a 个物体就变为了奇异局势(00)；如果a = ak b > bk那么取走b - bk个物体即变为奇异局势；如果 a = ak b < bk ,则同时从两堆中拿走 ak - ab - ak个物体,变为奇异局势( ab - ak , ab - ak+ b - ak)；如果a > ak b= ak + k,则从第堆中拿走多余数量a - ak 即可；如果a < ak b= ak + k,分两种情况第种a=aj (j < k),从第 2堆里面拿走 b - bj 即可；第 2种a=bj (j < k),从第 2堆里面拿走 b - aj 即可

从如上性质可知两个人如果都采用正确操作那么面对非奇异局势先拿者必胜；反的则后拿者取胜

那么任给个局势(ab)怎样判断它是不是奇异局势呢？我们有如下公式:
ak =[k(1+√5)/2]bk= ak + k (k=012...,n 方括号表示取整)
奇妙是其中出现了黄金分割数(1+√5)/2 = 1618...,因此,由akbk组成矩形近似为黄金矩形由于2/(1+√5)=(√5-1)/2可以先求出j=[a(√5-1)/2]若a=[j(1+√5)/2]那么a = ajbj = aj + j若不等于那么a = aj+1bj+1 = aj+1+ j + 1若都不是那么就不是奇异局势然后再按照上述法则进行定会遇到奇异局势

( 3)尼姆博奕(Nimm Game):有 3堆各若干个物品两个人轮流从某堆取任意多物品规定每次至少取个多者不限最后取光者得胜

这种情况最有意思它和 2进制有密切关系我们用(abc)表示某种局势首先(000)显然是奇异局势无论谁面对奇异局势都必然失败第 2种奇异局势是(0nn)只要和对手拿走样多物品最后都将导致(000)仔细分析下(123)也是奇异局势无论对手如何拿接下来都可以变为(0nn)情形

计算机算法里面有种叫做按位模2加也叫做异或运算我们用符号(+)表示这种运算这种运算和般加法区别点是1+1=0先看(123)按位模2加结果:

1 = 2进制01
2 = 2进制10
3 = 2进制11 (+)
———————
0 = 2进制00 (注意不进位)

对于奇异局势(0nn)也样结果也是0

任何奇异局势(abc)都有a(+)b(+)c =0

如果我们面对是个非奇异局势(abc)要如何变为奇异局势呢？假设 a < b< c,我们只要将 c 变为 a(+)b,即可,有如下运算结果: a(+)b(+)(a(+)b)=(a(+)a)(+)(b(+)b)=0(+)0=0要将c 变为a(+)b只要从 c中减去 c-(a(+)b)即可

例1(142139)14(+)21=2739-27=12所以从39中拿走12个物体即可达到奇异局势(142127)

例2(5581121)55(+)81=102121-102=19所以从121中拿走19个物品就形成了奇异局势(5581102)



例3(294558)29(+)45=4858-48=10从58中拿走10个变为(294548)

例4我们来实际进行盘比赛看看:
甲:(7,8,9)->(1,8,9)奇异局势
乙:(1,8,9)->(1,8,4)
甲:(1,8,4)->(1,5,4)奇异局势
乙:(1,5,4)->(1,4,4)
甲:(1,4,4)->(0,4,4)奇异局势
乙:(0,4,4)->(0,4,2)
甲:(0.4,2)->(0,2,2)奇异局势
乙:(0,2,2)->(0,2,1)
甲:(0,2,1)->(0,1,1)奇异局势
乙:(0,1,1)->(0,1,0)
甲:(0,1,0)->(0,0,0)奇异局势
甲胜
<3>有两堆石子数量任意可以区别游戏开始由两个人轮流取石子游戏规定每次有两种区别取法是可以在任意堆中取走任意多石子； 2是可以在两堆中同时取走相同数量石子最后把石子全部取完者为胜者现在给出两堆石子数目如果轮到你先取假设双方都采取最好策略问最后你是胜者还是败者

碰到这道题时我思路:

设集合A, B分别为先手能赢和后手能赢 2元无序对(x,y)集合

先从最基础开始考虑(n,0) (n,n) 属于A这样情况先手肯定能赢(n为正整数下同)

如果存在(a,b)对于切n(a-n,b-n)均属于A则(a,b)属于B
很容易找到个(2,1)这是后手肯定能赢情况

接下来从先手角度分析如果他能在移动石子后留给对手(2,1)个石子那么他就能赢于是
(2+n,1) (2+n,1+n) (2,1+n) 均属于 A

找出个不属于A最小对(5,3) 这个元素肯定属于B集合从中任意取出元素后结果肯定属于A集合
相应(5+n, 3) (5, 3+n), (5+n, 3+n) 均属于A

这时发现B集合相对A集合元素少很多只要找出B集合中元素特征就能解决这个问题

旦B中包含(x,y)对A中就会相应包含(x, y+n), (x+n, y), (x+n,y+n)
由此想出种构造B集合思路方法设当前构造出集合为Sa为不在S中最小数即
a = MIN{ x | x 不属于 (p, q), 对于切(p, q)属于S }
则把(a, a+gap)加入B中其中gap是当前S中所有对的差最小值+1

构造出序列为
(1,2) -> (3, 5) -> (4, 7) -> (6, 10)

到这里这道题目应该已经能过了不过还有种达到O(1)优化接下来就不是我想出来了 =,=
首先是Betty定理:
如果无理数alpha, beta满足
1. alpha, beta > 0
2. 1/alpha + 1/beta = 1
那么序列{[alpha*n]}和{[beta*n]}构成自然数集个分划其中是取整

这道题对应alpha和beta分别是(1+sqrt(5))/2,(3+sqrt(5))/2其实是个黄金分割

# <iostream>
# <cmath>

using std;


{
x, y;
double alpha = (1.0 + sqrt(5.0)) / 2.0;
double beta = (3.0 + sqrt(5.0)) / 2.0;
while (cin >> x >> y) {
(x > y) {
temp = x;
x = y;
y = temp;
}
n = ceil(y / beta);
x1 = alpha * n;
y1 = beta * n;
(x x1 && y y1)
cout << 0 << endl;

cout << 1 << endl;
}
0;
}

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