大刀阔斧,大刀阔斧，在同济的荆棘森林中探索微积分的筋络

现在已经开始了一轮考研数学的复习，使用同济《高等数学》第六版。对于考研来说，它是本很好的教材，各个知识点都罗列得非常清晰。但是如果你想真正学习微积分，真正把握它的知识脉络，那么它则是下下之选。因为在这本书中，每个知识点所衍生出来的枝叶太过繁杂，繁杂到已经把微积分的主干脉络所淹没。所以，借考研这个机会，我打算查阅一些相关资料并结合自己的理解，在同济教材中尝试着寻找微积分主干的来龙去脉。《高等数学（上）》主要讨论一元微积分，而《高等数学（下）》则主要是关于二元微积分的论述。本篇文章主要则是针对上册，即一元微积分部分而写的。

1.一元微积分的框架

首先，直接给出一元微积分的框架图，对应《高等数学》同济版（上）。只作简单的解释，然后再一一展开叙述。

① 函数和函数的极限，是微积分得以建立的基础；
② 微积分学这门学科由三部分组成：微分、积分、指出微分与积分是一对矛盾的 微积分基本定理（Newton - Leibniz formula）；
③ 微分与积分互为矛盾的对立面，微分中的一条定理或公式，在积分中也应有相应的定理或公式。反之亦然，即它们之间是相互对应的。因此，你可以看到上面的双向箭头，指明了一些零散知识点的联系。
上面这张图，就是《高等数学》上册的知识结构框架图，掌握此图，就把握到了一元微积分的精髓。

2.微积分的地基 —— 函数与极限

无论翻开哪本微积分教材，都少不了 函数 和 极限 的踪影。比如我们上课时用的《微积分学》（华中科技大学数学系）就用了开头两章（ 第一章：函数、第二章：函数的极限与连续性）介绍它们；同济《高等数学》则把内容压缩到一章，即 “第一章：函数与极限”。
第一个疑问随之而来：在现代大学微积分教材中，为什么都会将函数和极限放在开端呢？

2.1 变量与函数

人类自诞生以来，就没有停止一刻地去尝试理解我们所置身的世界。早在原始时期，我们的祖先就开始用 “数” 的概念表示物体的数量，用刻在岩壁上的线条来代表天体运动的轨迹。
然而，客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。常量只能反映出某个变化过程在某一刻的外在表现，使用常量显然无法揭示出变化的内在规律。十七世纪生产力的发展推动了自然科学和技术的发展，不但已有的数学成果得到进一步巩固、充实和扩大，而且由于实践的需要，人们开始研究运动着的物体和变化中的量，这样就获得了变量的概念。这是数学发展史上的一个转折点。研究变量的一般性质和它们之间的依赖关系，人们又得出了函数的概念，数学对象的扩展就使数学进入了一个崭新的时期。
爱因斯坦的质能方程
来表示质点在时间间隔 [t₀, t] 内平均的快慢程度，称为质点在时间间隔 [t, t₀] 内的 “平均速度”，它显然是一个以连续变量 t 为自变量的函数。但是大多数运动都是非均匀的（即在相等时间间隔内所走过的路程并不相等），因此 还不能精确地表达指点在 t₀ 那个瞬时的动态。但是当我们把时间间隔 [t₀, t] 无限缩短，也就是让 t 无限接近于 t₀ 时，平均速度 ，所趋向的极限 v(t₀) 就表达了质点在时刻 t₀ 的 “瞬时速度” 这个概念，数学表达式如下：

以上的极限，就表达了在某个时刻 t，位移 s(t) 相对于时间的瞬时变化率。
这样的关于 “变化率” 例子不止一个，在自然科学和工程技术领域内，还有许多概念涉及到 “变化率”，例如电流强度 I（单位时间内通过导线某截面的电荷量 Q）、角速度 w （单位时间内转过的角度 ）等等。可以看出，这种问题是相当普遍的，只要你研究某一变量 A 相对于另一变量 B 的变化率的问题，就 需要用上述的极限来表达这种变化率。
既然这种极限如此犀利，数学家们于是给它取了个比较好记的短名 —— 导数，并给出了严格的定义式如下：

总之一句话：探求 “函数 y=f(x) 中，因变量 y 相对于自变量 x 的变化率” 的问题，催生了导数的概念。

从导数到微分

和导数紧密关联的是微分的概念。从上面的论述中我们知道，为解决 “变化率” 问题，催化了导数概念的诞生。那么又是什么样的问题，导致了微分的诞生？
在很多具体问题中，我们 往往需要计算函数的改变量：

例如，求内半径为 r，厚度为 的球壳的体积，我们知道球体积公式为 。当半径从 r 增加到 r + 时，球的体积增加了

这里的函数 很简单，所以求 的表达式也不算太麻烦（三次式展开，再相减就行）。但是，有些函数非常复杂，此时求 就不那么容易计算了。举个例子，现有函数 ，这时候你怎么求 ？
嘿嘿，数学家们也考虑到这个问题了，有些东西硬算算不动，那就用 “近似” 呗！用一个相对简单的式子去近似那些无法直接计算的东西，不就 OK 了嘛！（虽然近似或多或少会造成误差，但是如果误差极小，趋近于 0，那就无所谓了）
此时，“微分” 的概念就快要 “粉墨登场” 了！
我们还是从导数的定义式出发：

若令：

那么显然有 ，即当 时，。对上式进行变形，有：

也就是说，给自变量 x 一个改变量 时，函数 y 获得的改变量 由两部分组成：一部分是 （线性部分）；另一部分就是 （非线性部分）。
当 时，，所以 是一个比 更快地趋向于零的一个量。也就是说，当 很小时，第一部分 在 中所占的比例要比第二部分 大得多。因此，可以把第二部分忽略不计。总的来说就是：当 很小时，非线性部分会更快地趋向于 0，于是我们可以使用线性部分 来近似 。
呵呵，我们可以为这个线性部分 取一个名字 —— 微分，并用如下的符号表示：

特别地，取 y = x，则有 ，即 （此式表明：自变量的增量等于自变量的微分），因此上式可以改写为：

就这样，我们从导数的概念推出了微分的概念，微分描述了 当自变量 x 的改变 dx 足够小时，函数值 y 的改变 dy 可以用 f'(x)dx 来近似。你可能觉得，这有什么了不起的。不就是一个近似嘛。但是请仔细观察，当 x 是某个具体值的时候，f'(x) 可是一个常数！就是说 dy 和 dx 是成正比例的！进一步，就是说在 [x, x+] 区间内（足够小），y = f(x) 可以近似看成一条直线段！而且 越小，这种近似越精确！这样一来，我们就可以用线性的方法来处理非线性的问题了，相当方便！
如果对上面的话还不太理解，看下面一张图，极其经典，说明了微分的几何意义：

P 点和 M 点都在曲线上，其横坐标分别为 x 和 x+ 。
过 P 点做曲线切线交 OM 为 N，切线斜率即是导数 f'(x)，那么 dy = f'(x) ▪ dx 则表示线段 _disibledevent=> 时， 可以忽略不计，此时我们就可以用直线段 PN 来近似代替曲线段 PM 了。

微分学综述

微分学，是研究函数局部特性的学科。导数和微分，是微分学中最重要的两个概念。
我们可以求出函数的导数 f'(x)，它代表着函数在某点上因变量 y 相对于自变量 x 的变化率（从几何上来说，即是此点的切线的斜率）；进一步，我们导出了微分的概念，它可以将复杂函数在局部范围内近似成线性函数，斜率即为此点的导数。这种线性近似，使得对复杂函数的研究在局部上得到简化，为后续的研究工作提供了强有力的支持。
增量无限趋近于零，割线无限趋近于切线，曲线无限趋近于直线，从而以直代曲，以线性化的方法解决非线性问题，这就是微分学理论的精髓所在。

3.2 积分学

现在的积分学，包括定积分和不定积分。虽然它们之间只差一个“不”字，但是在牛顿-莱布尼兹公式出现之前，它们可是风马牛不相及的！一般的微积分教材，往往把不定积分安排在了微分和定积分之间来讲（翻翻书，是不是？），但是这样讲，很容易搅乱学生们的逻辑，给他们一种 “定积分和不定积分原本就是一个东西” 的错觉。我认为更好的方法是：首先单独讲 “微分” 和 “定积分”，然后介绍 “牛顿-莱布尼兹” 为它们建立联系，然后再来介绍不定积分。

从面积说起

为了引出积分的概念，我们举一个简单的经典例子：求在 [0, 2] 范围内， 和 x 轴所围的面积，反映在图形上如下：

OK，现在我们需要求图形 OAC 的面积。呵呵，怎么办呢？当然如果你懂微积分，一下就搞定了。但是现在我不许用，该怎么解决这个问题？
回想一下求圆的面积的思想：把圆沿半径分割成一个个小三角形，求这些三角形的面积之和就可以近似圆的面积了。当分割得越精细，近似的结果就越接近真实的结果。话说回来，我们能不能也用这种 “细分” 的思想来尝试解决抛物线的面积问题呢？如下：

如上图，把区间 [0, 1] 分成 n 等分，作出 n-1 个矩形，把它们的面积加起来，则有：

当 n 越大时，划分的矩形个数就越多，留白部分也就越少， 也就越接近不规则图形 OCA 的实际面积。当 时， = 1/3，也就是图形 OCA 的面积了。

另一个例子

比如：已知速度表达式 v(t)，求物体在时间间隔 [, T] 内所走的路程，我们同样可以使用上述的方法来处理：
把区间 [, T] 分成 n 份，插入分点 。当区间分得很细时，由于 很小，就有理由设想速度 v=f(t) 在这个时间间隔内不可能有多大的变化，因此在 上可以近似的把速度看成不变的，并且可以把 内任一时刻 t= 的速度 v=f() 看成是 内每一时刻的速度，因此在时间间隔 内物体所走的路程近似地等于：

那么在整个时间间隔 内所走的路程为：

记这 n 个小段的时间 中的最长者为 （想一想，为什么要这么取？），显然可以看出，当区间 [, T] 被分得越细时，上面的近似就越精确。若把区间 [, T] 无限细分，即令 ，则上式的极限就等于所要求的路程：

定积分的定义

用这种 “先细分，再累加，然后取极限” 的方法来解决的问题还有很多诸如上述的问题，我们都可以归结到一个计算这样的一个极限。既然这种极限的运用如此普遍，我们于是为它取了个名字 —— 定积分，并总结出它的一般性定义（书上 P225 - P226 已经给出详细定义，所以这里仅给出最终的定义式）：

从公式中我们可以看出，定积分其实是一种运算，其运算符号 就是对被积函数 f(x) 做一种 “先细分，再累加，然后取极限” 的特殊处理。定积分运算的结果，就是最终取极限的结果。定积分的 几何意义，就是 f(x) 曲线下的面积。定积分的 现实意义，就是用来求一个变量 f(x) 相对于另一个变量 x 的累积作用效果（如：面积 s 是线 l 对线 m 的累积作用效果；路程 s 是速度 v 对时间 t 的累积作用效果；功 W 是力 F 对位移 s 的累积作用效果）。
这就是定积分，也就是在牛顿-莱布尼兹公式出现之前，积分学的核心内容。

4.牛顿-莱布尼兹公式 —— 微分学和积分学的联姻

微分妹和积分哥，就这样各自走各自的路，直到遇见牛顿和莱布尼兹，才成就了他们之间的好事，成就了数学界的一段佳话。
这也就是牛顿和莱布尼兹的伟大之处，他们指出，微分和积分是逆运算，这样一来，求定积分的问题就可以转化成求原函数之差的问题，极大程度上简化了定积分的求解过程。
不过，在介绍牛顿-莱布尼兹公式之前，我们还是对微分和积分的发展情况做一下小小的对比吧~
微分学 积分学
核心内容 导数、微分 定积分
几何意义 曲线在某点的切线 曲线下的面积
现实意义 变量A相对于变量B的变化率 变量A相对于变量B的累积作用效果
应用举例 已知位移 s(t) 求速度表达式 v(t) 已知速度 v(t) 求位移表达式 s(t)

4.1 定积分怎么这么难算?

之前我们在介绍定积分的时候，曾经举了一个求 在 [0, 1] 范围下，与 x 轴所围图形的面积。我们使用了 定义法 来计算定积分，把不规则的图形切割成一个个小的矩形，然后累加，取极限，就得到了最终的结果。但是 非常简单，假如我给你一个这样的函数 ，让你去计算在 [0, 1] 区间下的面积，如果你还是套用定积分的定义法，会出现如下的式子：

看到这个式子你应该哭了吧~ 真心难算啊！虽然我举的例子极端了点，但是说明了一个非常棘手的问题：使用定义法来计算复杂函数的定积分，难、难、难！
怎么办？牛顿-莱布尼兹 “粉墨登场” ！

4.2 麻烦的解决：牛顿-莱布尼兹公式

我们直接给出此公式，略去证明部分（证明见 P239）：
在区间 [a, b] 上如果有 F'(x) = f(x)，则有：

这个公式说明的问题就是：对某函数 f(x) 的定积分的计算，可以转化成其原函数 F(x) 的差运算。
有了这个强力公式之后，我们再来看 这个问题。也就是说，我们只要找打了 的原函数，问题自然迎刃而解了！那么，怎么才能早到 f(x) 的原函数呢？
这就要借助求导公示表了，在 P116 页，我们发现了第一条求导公式就是：

那么，我们只要找到求导之后是 的函数就行了，逆推一下，令 ，那么 ，原函数显然是 了！那么根据牛顿-莱布尼兹公式，有：

是不是超简单？再也不用讨厌而又麻烦的定义式了！
换句话说，这是不是一种进步呢？定积分如此重要，但是它的定义法如此麻烦，而牛顿和莱布尼兹指出了这一公式，大大简化定积分的计算过程，极大推动了科学的发展（特别是物理学），进而推动了生产力，加快了社会前进的步伐，称他们伟大是理所当然的了！

4.3 不定积分

讲完了微分、定积分 和 联系它们的牛顿-莱布尼兹公式，我们再来看看不定积分到底是个什么东西。
之前曾说过，我们求 f(x) 的原函数，只要对照着 P116 - P117 的导数公式，再逆向推导就行了。
但是，总是这样逆过来推，感觉也比较别扭。于是，数学家们不妨就把这种求导的逆过程，专门拿出来整理一番，起了个名字——不定积分，并得到了 P188-P189 的积分表，还附带了一些积分技巧，如换元法、分部积分法等。
不定积分，就是求导的逆运算，在牛顿-莱布尼兹公式出来之前，它和定积分完全不相干！（因为在次公式出来之前，求导和求定积分完全不想干）。只有当此公式出来之后，不定积分这套规则才并入积分学的范畴之中，方便了定积分的运算。
至此，一元微积分的主要框架已搭建完毕：微积分，由微分学、积分学、以及联系两者的牛顿-莱布尼兹公式构成。其中微分学的核心内容为导数和微分；积分学的核心内容为定积分和不定积分。

5.还有些残留物，怎么办？

OK，上面的论述已经涉及到了《高等数学》同济版（上册）的 第一章 ~ 第六章，至于第七章 “常微分方程” ，不过是微积分在解微分方程中的一种应用罢了，在此不作过多的解释。好了，现在都讲完了，还有什么可讲呢？
虽然我们搭建起了微积分的框架，但是微分学和积分学中的一些零碎的东西，比如一些定理啊、公式啊、运算法则啊之类的，都太散了。接下来的任务就是为它们建立起联系，赋之以框架。下面的论述，有的人可能感觉有点玄，不严谨，但是很有助于我们对微分和积分的深度理解。

5.1 对立统一定律

Makesi（Max），估计是大家比较讨厌的人之一了，中国的童鞋基本上免不了被他轮的悲惨命运：中考必考政治、高中文科考政治，考研也要考政治。估计大家一听到 Max 这个名字，头脑中就会条件反射性地和无聊、枯燥挂钩了~ 呵呵，我同样讨厌老马，不过话说回来，他的一些东西确实有价值，不然就不会取得如此高的国际声誉了；我们讨厌他，或许是不正确的学校教育所造成的一种偏见。
在 Max 的理论中，唯物主义辩证法是非常重要的一部分，其中的 “对立统一规律” 是他非常重视的定律，被称作是 “事物发展的根本规律”。下面摘一段大二上的《马克思主义基本原理概论》P38 页的几段话。直接用，不加解释，因为我实在无力解释哲学范畴里的东东...
“对立统一规律提供了人们认识世界和改造世界的根本方法——矛盾分析法。对立和统一分别体现了矛盾的两种基本属性。统一，是指矛盾双方相互依存、相互贯通的性质和趋势。对立，是指矛盾双发相互排斥、相互分离的性质和趋势。”
而微分和积分就是矛盾的双方，而指出这种矛盾性的，正是牛顿-莱布尼兹公式（参考龚昇的《微积分五讲》，至于为什么，他也没说，我也不知道，玄吧~）。它们之间，既是对立的（一个是微分的形式，一个是积分的形式），又是统一的（他们的研究对象都是函数，微分研究函数的局部特性，积分研究的是函数的整体特性）。原则上讲，微分中的一条定理或公式，在积分中也应有相应的定理或公式；反之亦然，即它们之间是相互对应的。
在矛盾的观点下，我们来看一看微分和积分中的一些对应点。

5.2 对应点的举例

运算法则

对于微分运算来讲，在第二章的第二节 “函数的求导法则” 中，有这样几条运算规则：
① 和 的求导法则：

② 乘积 的求导法则：

③ 复合函数 的求导法则：
若 ，则有：
对于积分运算来讲，第四章 “不定积分” 介绍了三类最重要的积分法则：
④ 有理函数的积分：

⑤ 分部积分法：

⑥ 换元法：
设 则有：
可以看出：① 可推出 ④，② 可推出 ⑤，③ 可推出 ⑥。也就是说，① 与 ④、② 与 ⑤、③ 与 ⑥ 是一一对应的。

公式表

P95 的求导表 和 P188 的积分表，是相互对应的。

中值定理

P129 的微分中值定理 和 P233 的积分中值定理是相互对应的。
总之，认识到微分和积分是一对矛盾的对立面，非常有助于梳理它们的一些定理与公式，把它们也归纳到了框架之中。

6.结语

写这篇文章的初衷，主要是因为我要考研了，有机会在时隔 2 年后再次接触微积分。大一的微积分虽然考了 98 分，但是自觉学的很稀烂... 毕竟 “考试” 和 “学习” 是本质上不同的活动，前者是分数导向（score-oriented），后者则是知识导向（knowledge-oriented）。因此，重学微积分这门基础课，也是一个不错的选择。而且，现在我把班委和俱乐部的所有职责都推掉了，除了考研就没别的事儿了，何不静下心来重温微积分？然后把学习的心得写成一篇日志的形式，既有益于个人思维的整理，而且方便日后回顾，而且又可以为其他的同学提供一些绵薄的帮助。这种利人利己的事情，再多也不为过。
在参阅的众多微积分教材中，最让我受益的则是龚昇教授的《简明微积分》，我认为它是国内微积分教材中最好的一本，没有之一。在此，借用一下卓越上的一条评论：
龚昇教授是我最钦佩的大师之一！他写的这本《简明微积分》，突破了传统高数教材的结构框架，抓住了微积分的主要矛盾，从较高的层次把微积分的内容娓娓道来，全书内容精彩而引人入胜，可以说是把“微积分”给讲“活”了！不管是对初学者还是对学过高等数学想提高数学素养的人来说，本书都是一本不可多得的优秀教材！什么同济版之流的教材与此书相比简直就不是一个境界的！如果再配合科大的《高等数学导论》和龚昇教授的《微积分五讲》一起互为参考学习，那种感觉简直是妙不可言！龚昇教授在他的一本论文集中写到：“我无学位，非院士，不过是一个普普通通的老教书匠”。但是他的数学素养和水平绝对不亚于任何院士。在国产的数学资料中，能让我怀着尊敬的心态拜读大作的高水平高师德的大师不多，华罗庚，陈希孺，龚昇，李尚志，张筑生，史济怀，曾肯成。仅此数位。
看了这本书，也让我明白了一个事实：中国科技大学，是国内基础课程教学做得最好的学校，没有之一。
写这篇日志，断断续续花去了一个星期的时间。说起来容易，但真正写的时候，就会发现真的不是一件轻松的事情。首先，一篇博文，当然是 “内容为王” 了，所以你需要保证内容的质量，参考各类不同的微积分教材，把逻辑框架理顺，而且在写的过程中还会不断地修改；写这种数学博客，当然需要上公式和图片，但是直接用键盘敲当然是敲不出来的，于是还得借助各类工具：用 公式编辑器 把所有公式的代码敲出来，需要用 函数绘制工具 绘制每一张函数图像；最后，你还得考虑博文的用户体验，于是需要用少量的 CSS 和 JS 代码做一定的修饰。
写这样的博文，就像做一个软件产品，首先需要构架起框架，然后不断地迭代，不断的 Debug，直到最后得出自己较为满意的文章为止。这种经历，告诉我任何一件东西一蹴而就是非常困难的，我们应该以平和的心态不断地去精雕细琢，不断地创新求变，才能做出好的东西，才不会落到 “不废江河万古流” 的地步。国内为什么出不了 iPhone 这样的产品，为什么出不了魔兽争霸、暗黑 2 这样的巨作，或许都是败在 “浮躁” 这个词之上。
我的能力、精力、智力十分有限，虽然已尽力而为，但必有不当甚至错误之处。哪些地方有错别字，哪些地方语句不通顺或残缺，哪张图片有错误。或者更进一步，哪些地方你看不懂，看得不爽，尽管批评指正哈！期待你的 feedback！

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