矩阵论课程总结,矩阵间的关系总结

矩阵间的关系有三种：等价，相似，合同，前者依次包含后者。
一、定义：
    矩阵等价：对于任意矩阵A，如果存在可逆矩阵P和Q，使得PAQ=B，则说A与B等价,记为A~B。
    矩阵相似：对于任意矩阵A，如果存在可逆矩阵P，使得inv(P)AP=B，则说A与B相似，记为A~B。
    矩阵合同：对于任意矩阵A，如果存在可逆矩阵P，使得Transpose(P)AP=B，则说A与B合同。
二、性质：
     等价矩阵：
         a).具有相同的秩；b).具有相同的相似标准型；c).列(行)向量具有相同的相关性；d).任意矩阵都等价于它的标准型
     相似矩阵：
         a).具有相同的特征值；b).具有相同的行列式；c).迹相等；d).具有相同的特征多项式
三、相似对角化
      对于矩阵A，如果存在可逆矩阵P，使得inv(P)AP为对角矩阵，则称A可相似对角化。如果A满足如下条件中的一个，则A可相似对角化：
     a).矩阵A有n个线性无关的特征向量；
     b).矩阵A有n个不相同的特征值；
     c).矩阵A的k重特征值对应有k个特征向量。
   **注意：A能否对角化与A是否可逆或A的秩之间没有关系，如A=[2,2;2 2]为实对称矩阵，一定可以对角化，但秩为1，它不可逆。
四、两种重要的特殊矩阵
    正交矩阵：定义：transpose(A)*A=A*transpose(A)=I。正交矩阵具有如下的性质：
          a). transpose(A)=inv(A)；
          b). det(A)=1或者det(A)= —1；
          c). 如果A和B都是正交矩阵，则AB和BA都是正交矩阵；
          d). A的行(列)向量组为标准正交向量组。
          e).transpose(A)*A=A*transpose(A)=I
             f).正交变换不改变内积，y=Ax，则(y1,y2)=(Ax1,Ax2)=(x1,x2)，因此也就不改变向量的长度和夹角，所以正交变
               换可以保持图形不变。
      对称矩阵：定义：transpose(A)=A。对称矩阵具有如下性质：
           a).如果A和B都是对称矩阵，则A+B为对称矩阵；AB对称的充要条件是AB=BA，即A，
              B可交换；
           b).任意矩阵A,).transpose(A)*A和A*transpose(A)都是对称矩阵；
           c).对于实对称矩阵，有如下特殊性质：
                 *特征值全为实数；
                **不同特征值对应得特征向量彼此正交；
                ***一定存在正交矩阵C，使得transpose(C)*A*C=inv(C)*A*C为对角矩阵，且对角元为
                    A的特征值，而C的列向量即为A的特征向量。
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