树状数组（Fenwick tree，又名binary indexed tree），是一种很实用的数据结构。它通过用节点i，记录数组下标在[ i –2^k + 1, i]这段区间的所有数的信息（其中，k为i的二进制表示中末尾0的个数，设
lowbit(i) = 2^k），实现在O(lg n) 时间内对数组数据的查找和更新。
树状数组的传统解释图，不能很直观的看出其所能进行的更新和查询操作。其最主要的操作函数lowbit(k)与数的二进制表示相关，本质上仍是一种二分。因而可以通过二叉树，对其进行分析。事实上，从二叉树图，我们对它所能进行的操作和不能进行的操作一目了然。
和前面提到的点树类似，先画一棵二叉树，然后对节点
中序遍历（点树是采用广度优先），每个节点仍然
只记录左子树信息，见图：
由于采用的是
中序遍历，从节点1到节点k时，刚好有k个叶子被统计。
可以证明：
叶子k，一定在节点k的
左子树下。
以节点k为根的树，其左子树共有叶子lowbit(k)
节点k的父节点是：k + lowbit(k) 或 k - lowbit(k)
节点k + lowbit(k) 是节点k的最近父节点，且节点k在它的
左子树下。
节点k - lowbit(k) 是节点k的最近父节点，且节点k在它的
右子树下。
节点k，统计的叶子范围为：(k - lowbit(k), k]。
节点k的左孩子是：k - lowbit(k) / 2
下面分析树状数组两面主要应用：
1 更新数据x，进行区间查询。
2 更新区间，查询某个数。
由于，树状数组
只统计了左子树的信息，因而只能查询更新区间[1, x]。只在在满足[x,y]的信息可以由[1,x-1]和[1,y]的信息推导出时，才能进行区间[x,y]的查询更新。这也是树状数组不能用于任意区间求最值的根本原因。
先定义两个集合：
up_right(k) ： 节点k所有的父节点，且节点k在它们的
左子树下。
up_left(k) ： 节点k所有的父节点，且节点k在它们的
右子树下。
1 更新数据x，查询区间[1,y]。 显然，更新叶子x，要找出叶子x在哪些节点的
左子树下。因而节点k、所有的up_right(k)
都要更新。
查询[1, y]，实际上就是把该区间拆分成一系列小区间，并找出统计这些区间的节点。可以通过找出y在哪些节点的
右子树下，这些节点恰好不重复的统计了区间[1, y-1]。因而要访问节点y、所有的up_left(y)。
2 更新区间[1,y]，查询数据x 这和前面的操作恰好相反。与前面的最大不同之处在于：节点保存的不再是其叶子总个数这些信息，而是该区间的所有叶子都改变了多少。也就是说：每个叶子的信息，分散到了所有对它统计的节点上。因此操作和前面相似：
更新[1,y]时，更新节点y、所有up_left(y)。
查询x时， 访问x、所有up_right(x)。
前面的树状数组，只对左子树信息进行统计，如果从后往前读数据初始化树状数组，则变成只对右子树信息进行统计，这时更新和查询操作，刚好和前面的相反。
一般情况下，树状数组比点树省空间，对区间[1, M]只要M+1空间，查询更新时定位节点比较快，定位父节点和左右孩子相对麻烦点（不过，一般也不用到。从上往下查找，可参考下面代码中的erease_nth函数（删除第n小的数））。
下面是使用树状数组的实现代码（求逆序数和模拟约瑟夫环问题）：
树状数组 //www.cnblogs.com/flyinghearts
#include #include #include template struct Round2k { enum { down = Round2k::down * 2}; }; template<> struct Round2k<1> { enum { down = 1}; }; template //区间[1, Total]
class BIT { enum { Min2k = Round2k::down}; T info[Total + 1]; T sz; //可以用info[0]储存总大小 public: BIT() { clear(); } void clear() { memset(this, 0, sizeof(*this));} int size() { return sz; } int lowbit(int idx) { return idx & -idx;} //寻找最近的父节点，left_up/right_up 分别使得idx在其右/左子树下 void left_up(int& idx) { idx -= lowbit(idx); } void right_up(int& idx) { idx += lowbit(idx); } void update(int idx ,const int val = 1) { //叶子idx 改变val个 assert(idx > 0); sz += val; for (; idx <= Total; right_up(idx)) info[idx] += val; } void init(int arr[], int n) { // arr[i]为叶子i+1的个数 assert(n <= Total); sz = n; // for (int i = 0; i < n; ) { // info[i + 1] = arr[i]; // if (++i >= n) break; // info[i + 1] = arr[i]; // ++i; // for (int j = 1; j < lowbit(i); j *= 2u) info[i] += info[i - j]; // } for (int i = 0; i < n; ) { info[i + 1] = arr[i]; if (++i >= n) break; int sum = arr[i]; int pr = ++i; left_up(pr); for (int j = i - 1; j > pr; left_up(j)) sum += info[j]; info[i] = sum; } } int count(int idx) { //[1,idx] - [1, idx-1] assert(idx > 0); int sum = info[idx]; // int pr = idx; //int pr = idx - lowbit(idx); // left_up(pr); // for (--idx; idx > pr; left_up(idx)) sum -= info[idx]; // // return sum; for (int j = 1; j < lowbit(idx); j *= 2u) sum -= info[idx - j]; return sum; } int lteq(int idx) { //小等于 assert(idx >= 1 && idx <= Total); int sum = 0; for (; idx > 0; left_up(idx)) sum += info[idx]; return sum; } int gt(int idx) { return sz - lteq(idx); } //大于 int operator[](int n) { return erase_nth(n, 0); } //第n小 int erase_nth(int n, const bool erase_flag = true) //删除第n小的数 { assert(n >=1 && n <= sz); sz -= erase_flag; int idx = Min2k; //从上往下搜索，先定位根节点 for (int k = idx / 2u; k > 0; k /= 2u) { int t = info[idx]; if (n <= info[idx]) { info[idx] -= erase_flag; idx -= k;} //进入左子树 else { n -= t; if (Total != Min2k && Total != Min2k - 1) //若不是完全二叉树 while (idx + k > Total) k /= 2u; //则必须计算右孩子的编号 idx += k; //进入右子树 } } assert(idx % 2u); //最底层节点m一定是奇数，有两个叶子m，m+1 if (n > info[idx]) return idx + 1; //节点m+1前面已经更新过 info[idx] -= erase_flag; return idx; } void show() { for (int i = 1; i <= Total; ++i) if (count(i)) printf("%2d ", i); printf("\n"); } }; void ring() //约瑟夫环
{ const int N = 17; //N个人编号：1,2, ... N const int M = 7; //报数：1到M，报到M的出列 printf(" N: %d M: %d\n", N, M); BIT pt; // for (int i = 0; i < N; ++i) pt.update(i + 1); int arr[N]; for (int i = 0; i < N; ++i) arr[i] = 1; pt.init(arr, N); for (int j = N, k = 0; j >= 1; --j) { k = (k + M-1) % j; int t = pt.erase_nth(k + 1); printf(" turn: %2d out: %2d rest: ", N - j, t); pt.show(); } printf(" \n\n");
} int ra(int arr[], int len) //求逆序数-直接搜索
{ int sum = 0; for (int i = 0; i < len - 1; ++i) for (int j = i + 1; j < len; ++j) if (arr[i] > arr[j]) ++sum; return sum; } template
int rb(int arr[], int len) //求逆序数-使用树状数组
{ BIT pt; int sum = 0; for (int i = 0; i < len; ++i) { pt.update(arr[i] + 1); sum += pt.gt(arr[i] + 1); } return sum; } int main()
{ int arr[] = { 4,3,2,1,0,5, 1,3,0,2}; const int N = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]); printf("%d %d\n\n", ra(arr, N), rb<6>(arr, N)); ring();
}
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