圆圈中的数字表示树中每个节点的值，节点上方的数字表示对应的数组下标。一个堆的数组A，用length[A]表述数组中的元素个数，heap-size[A]表示本身存放在A中的堆的元素个数，很明显heap-size[A]<=length[A]。 树的根为A[1]，给定某个节点的下标i，很容易计算出其父节点PARENT(i)、左孩子LEFT(i)、右孩子RIGHT(i)的下标： PARENT(i) --- i/2 LEFT(i) --- 2i RIGHT(i) --- 2i+1
二叉堆有两种：最大堆和最小堆。最大堆满足以下条件：除了根节点以外的每个节点i，有A[PARENT(i)]>=A[i]。即某个节点的值至多和父节点的值一样大，也就是说，在以节点i为根节点的子树中，其子节点的值都不大于该节点的值，由此可得出结论，最大堆根节点的值即是数组A的最大值。最小堆的概念正相反。
堆排序算法使用的是最大堆。下面介绍几个堆排序使用的基本过程：
- max_heapify过程，运行时间为O(lg n)，它是保持最大堆性质的关键
- build_max_heap过程，线性时间运行，在无序的数组基础上构造最大堆
- heapsort过程，运行时间为O(lg n)，对一个数组原地进行排序
如上述算法描述，首先在数组元素A[i]，其左孩子为A[LEFT(i)]，右孩子为A[RIGHT(i)]中找到最大的那个，将其下标值存储到变量largest中。如果A[i]已经是最大值，则算法结束，否则A[i]与A[largest]交换，从而使节点i及其子节点满足最大堆的性质。此时，以largest节点为根的子树可能违反最大堆的性质，所以需要对该子树递归调用max_heapify。下图展示了这个过程：
该图展示的是max_heapify(A,2)的过程，读者可参考算法自行理解该过程。
建堆 build_max_heap算法如下： build_max_heap(A) heap-size[A] ← length[A] for i ← length[A]/2 downto 1 do max_heapify(A,i)
当用数组表示存储了n个元素的堆时，可以证明叶子的下标是n/2+1,n/2+2,...,n。 假设第i个节点是堆中最后一个拥有叶子的节点，则它的节点必定是其左孩子(根据完全二叉树的定义可得) ，则LEFT(i)=2i=n，即其左孩子在数组里的存储位置为n，可得i=n/2，所以从第i+1开始的节点没有子节点，即n/2+1,n/2+2,...,n存储的节点是叶子。 所以build_max_heap算法从第length[A]/2个节点往前开始调用max_heapify来建立最大堆，无需在叶子节点上调用max_heapify。下图是此过程的展示：
堆排序 heapsort算法如下： heapsort(A) build_max_heap(A) for i ← length[A] downto 2 do exchange A[1] <-> A[i] heap-size[A] ← heap-size[A] - 1 max_heapify(A,1)
首先，将输入数组A构造成最大堆，因为数组中最大元素在根A[1]，则交换A[1]和A[n]来达到最终正确的位置，此时数组元素最大值为A[n]。现在将A[n]从数组中去掉，可以很容易将A[1..n-1]构造成最大堆。原来的根的子女仍是最大堆，但新的根元素可能违反了最大堆性质，这是调用max_heapify(A,1)就可以保持最大堆性质，在A[1..n-1]中构造最大堆。不断重复这个过程，直到堆的大小降到2。
下面给出具体C语言实现代码：
1 void swap(int *a,int *b) 2 { 3 int temp = *a; 4 *a = *b; 5 *b = temp; 6 } 7 8 void max_heapify(int *arr,int i,int size) 9 { 10 int lt = 2*i+1; //左孩子 11 int rt = 2*i+2; //右孩子 12 int large; 13 14 if(lt<=size-1&&arr[lt]>arr[i]) 15 large = lt; 16 else 17 large = i; 18 if(rt<=size-1&&arr[rt]>arr[large]) 19 large = rt; 20 21 if(large!=i) 22 { 23 swap(&arr[i],&arr[large]); 24 max_heapify(arr,large,size); 25 } 26 } 27 28 void build_max_heap(int *arr,int size) 29 { 30 int i; 31 for(i=size/2;i>=0;i--) 32 { 33 max_heapify(arr,i,size); 34 } 35 } 36 37 void heapsort(int *arr,int size) 38 { 39 int i,len; 40 len = size; 41 build_max_heap(arr,size); 42 43 for(i=size;i>=1;i--) 44 { 45 swap(&arr[0],&arr[i-1]); 46 len--; 47 max_heapify(arr,0,len); 48 } 49 } 50 51 int main(void) 52 { 53 int arr[]={4,1,3,2,16,9,10,14,8,7}; 54 int len = sizeof(arr)/sizeof(arr[0]); 55 heapsort(arr,len); 56 int i = 0; 57 for(;i
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